Question

（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．

（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．

（1）求证：△DAP～△PBC．

（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．

（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长．

Answer

【探究】（1）证明见解析（2）AP＝4.5；【应用】AP＝3+或AP＝3﹣

【解析】

探究：（1）根据外角的性质得到∠DPB＝∠A+∠ADP，等量代换得到∠ADP＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论；

应用：根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据相似三角形的性质得到AC•BE＝AP•BP，代入数据即可得到结论．

探究：（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP，

∵∠A＝∠DPC，

∴∠ADP＝∠CPB，

∵∠A＝∠B，

∴△DAP∽△PBC；

（2）∵△DAP∽△PBC，

∴，

∴，

∴AP＝4.5；

应用：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∵∠CPE＝∠A，

∴∠A＝∠CPE＝∠B，

由探究得△CAP∽△PBE，

∴，

∴AC•BE＝AP•BP，

∵BC＝4，CE＝3EB，

∴BE＝1，

∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP，

∴AP（6﹣AP）＝4，

∴AP＝3+或AP＝3﹣．