Question

如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB，与y轴交于D点，∠CAO=90°－∠BDO.

（1）求证：AC=BC；

（2）如图2，点C的坐标为（4,0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；

（3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH.

试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.

Answer

（1）证明见解析；（2）8；（3）GH=FH+OG，证明见解析.

【解析】

试题分析: （1）由题意∠CAO=90°-∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC=BC；

（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC，即可得BC+EC的长；

（3）在x轴的负半轴上取OM=FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可证明所得结论．

试题解析:

（1）证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，

∴∠CAO=∠CBD.

又∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，

∴△ACD≌△BCD（AAS）.

∴AC=BC.

（2）【解析】
过D作DN⊥AC于N点，如图所示：

∵∠ACD=∠BCD，∠DOC=∠DNC=90°，

CD=CD

∴△DOC≌△DNC（AAS），

∴DO=DN，OC=NC.

又∵∠DEA=∠DBO，∠DOB=∠DNC=90°

∴△BDO≌△EDN（AAS），

∴BO=EN.

∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.

（3）GH=FH+OG.

证明：由（1）知：DF=DO，

在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，

如图所示：

在△DFH和△DOM中

∴△DFH≌△DOM（SAS）.

∴DH=DM，∠l=∠ODM.

∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM.

在△HDG和△MDG中

∴△HDG≌△MDG（SAS）.

∴MG=GH，

∴GH=OM+OG=FH+OG.