Question

点 O 是直线 AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．

（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC 的度数；

②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；

（2）将图 1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer

（1）①∠AOC＝50°；②∠AOC＝2α；（2）∠DOE＝∠AOC，理由详见解析.

【解析】

（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解；

②解法与①相同，把①中的25°改成α即可；

（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．

（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，

∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，

又∵OE平分∠BOC，

∴∠BOC＝2∠COE＝130°，

∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；

②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，

∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，

又∵OE平分∠BOC，

∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，

∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；

（2）∠DOE＝∠AOC，理由如下：

∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，

又∵OE平分∠BOC

∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，

又∵∠COD＝90°，

∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC．