Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer

（1）①△BPD≌△CPQ；②3cm/s；（2）24秒，AC

【解析】

对于（1）①，根据题意求出PC、BD，结合已知确定PC与BD、BP与CQ的数量关系，结合等腰三角形的性质即可解答；

对于（1）②，由题意知BP≠CQ，要使△BPD与△CQP全等，则BP=PC，CQ=BD=6cm，从而求出点Q的运动速度；

对于（2），结合P、Q两点的运动速度可知：当点P与点Q相遇时，则点Q比点P多走AB+AC的长度，结合相遇问题中的基本公式列方程求解，即可确定两点第一次相遇时所用的时间，求出此时点P的运动路程；

求出△ABC的周长，结合点P从点B出发运动，即可分析两点第一次相遇时在三角形的哪一条边上.

【解析】
（1）①△BPD≌△CPQ

∵t=1

∴BP=CQ=2×1=2cm

∵AB=12cm，点D为AB的中点

∴BD=6cm．

又∵PC=BC-BP，BC=8cm，∴PC=8-2=6cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CPQ中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等

∴BP≠CQ

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C

∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm

∴点P，点Q运动的时间为4÷2=2s

∴Q点的运动速度为6÷2=3（cm/s）

（2）24秒，AC

设经过t秒后，点P与点Q第一次相遇．

由题意：3t-2t=24，∴t=24，∴24×3=72．

∵△ABC的周长为32，∴点P与点Q第一次相遇在AC边上．

故答案为：24秒，AC．