Question

如图，点A，B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①AC=BC；②若OA=4，OB=2，则△ABC的面积等于5；③若OA﹣OB=4，则点C的坐标是（2，﹣2）.其中正确的结论有（   ）

A. 3个    B. 2个    C. 1个    D. 0个

Answer

A

【解析】

①∵AB为直径，

∴∠ACB=900，

∴①正确；

②∵C是的中点，

∴=，

∴AC=BC，

∴②正确；

③在Rt△AOB中，OA=4，OB=2，

∴AB==，

在Rt△ABC中，AC=BC=AB=，

∴△ABC的面积=×AC×BC=××=5，

∴③正确；

④如图，

过点C作CD⊥OA，DE⊥OB，

∴∠BEC=∠ADC=90°

在△BCE和△ACD中，，

∴△BCE≌△ACD，

∴AD=BE，CE=CD，

∵∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，

∴四边形ODCE是矩形，

∵CE=CD，

∴矩形ODCE是正方形，

∴OD=OD=CD=CE，

∵AD=OA−OD，BE=OB+BE=OB+OD，

∵AD=BE

∴OA−OD=OB+OD，

∵OA−OB=4，

∴OD=2，

∴CD=CE=2，

∴C(2，−2)

∴④正确，

故选：A.