Question

(9分)已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？

Answer

【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD。

又∵，

当，即m=1时，四边形ABCD是菱形。

把m=1代入，得。

∴。

∴菱形ABCD的边长是。

（2）把AB=2代入，得，解得。

把代入，得。

解得，。∴AD=。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴□ABCD的周长是2（2+）=5。

【解析】

（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，

∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，

∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，

解得：m＝1．

∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．

（2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0，

解得：m＝，

∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，

∴AB+AD＝m＝，

∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．