Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．

Answer

（1）8；（2）.

【解析】

（1）根据∠ACB=90°得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得∠CAD=∠EAD，从而得到CD=ED，利用HL证明Rt△ACD与Rt△AED全等，得出AC=AE，再用AB-AE可求出EB的长

（2）由（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，则BD=12-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出外接圆半径．

【解析】
（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），

∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），

∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），

又AD是△ABC的角平分线（已知），

∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），

∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，

∴根据勾股定理得：AB==13，

∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；

（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，

设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，

在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2 ，

即（12﹣x）2=x2+82 ，

解得：x=，

∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，

∴根据勾股定理得：AD=，

根据AD是△ACD外接圆直径，

∴△ACD外接圆的半径为：．