Question

如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE²；④S_△ABC=2S_△ADF ． 其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②③

【解析】

由直角三角形斜边上的中线性质得出FD= AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE= AB，可得FD=FE，①正确；

证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；

证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD= AE2；③正确；

由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④不正确；即可得出结论．

∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，

∴FD= AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵点F是AB的中点，

∴FE= AB，

∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中,，

∴△AEH≌△BEC(ASA)，

∴AH=BC=2CD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD∼△BCE，

∴=，即BC⋅AD=AB⋅BE，

∵△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∵AB⋅AE=AB⋅BE =，BC⋅AD=AC⋅BE=AB⋅BE，

∴BC⋅AD=；③正确；

∵F是AB的中点，BD=CD，

∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④不正确.

故答案为：①②③.