Question

如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点” .乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.

Answer

①结论一正确，理由见解析；②结论二正确，S四QEFP= S

【解析】

试题

（1）由已知条件易得△BEQ∽△DAQ，结合点Q是BD的三等分点可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，再结合AD=BC即可得到BE：BC=1：2，从而可得点E是BC的中点，由此即可说明甲同学的结论①成立；

（2）同（1）易证点F是CD的中点，由此可得EF∥BD，EF=BD，从而可得△CEF∽△CBD，则可得得到S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S，结合S四边形AECF=S可得S△AEF=S，由QP=BD，EF=BD可得QP：EF=2：3，结合△AQP∽△AEF可得S△AQP=S△AEF=，由此可得S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=S，从而说明乙的结论②正确；

试题解析：

甲和乙的结论都成立，理由如下：

（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴△BEQ∽△DAQ，

又∵点P、Q是线段BD的三等分点，

∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，

∵AD=BC，

∴BE：BC=1：2，

∴点E是BC的中点，即结论①正确；

（2）和（1）同理可得点F是CD的中点，

∴EF∥BD，EF=BD，

∴△CEF∽△CBD，

∴S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S，

∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF=S平行四边形ABCD=S，

∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF=S，

∵EF∥BD，

∴△AQP∽△AEF，

又∵EF=BD，PQ=BD，

∴QP：EF=2：3，

∴S△AQP=S△AEF=，

∴S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=S-=S，即结论②正确.

综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.