Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE＋CF=EF，其中正确结论是（    ）

A. ①②④    B. ②③④    C. ①②③    D. ①②③④

Answer

C

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE＝CF，判断出②正确；根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．

∵∠B＝45°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵点D为BC中点，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B．

∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE＝90°．

∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∴∠ADF＝∠BDE．

在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正确；

∴DE＝DF，BE＝AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；

∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，∴AE＝CF，故②正确；

∵BE+CF＝AF+AE，∴BE+CF＞EF，故④错误；

综上所述：正确的结论有①②③．

故选C．