Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（，0），AB =6，作∠DBO=∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH=∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．

（1）证明：△ABE为等边三角形；

（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；

（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？

Answer

（1）详见解析；（2）CD=；（3）当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等.

【解析】

（1）先证△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，从而可以得出结论；

（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，进而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性质得到AF、OF的长．再证明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF、DF的长，进而可得出结论．

（3）设运动的时间为t秒．然后分四种情况讨论：①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，；②当点P、Q都在y轴上时，；③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，；④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，，列方程求解即可．

（1）在△AOB与△EOB中，∵∠AOB=∠EOB，OB=OB，∠EBO=∠ABO，∴△AOB≌△EOB (ASA)，∴AO=EO=3，BE=AB=6，∴AE=BE=AB=6，∴△ABE为等边三角形．

（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°．

∵CD⊥AB，∴∠AOF=30°，∴AF=．

在Rt△AOF中，OF=．

∵∠CAH=∠BAO =60°，∴∠CAF =60°，∠ACF=∠AOF=30°，∴AO=AC．

又∵CD⊥AB，∴CF=．

∵AB=6，AF=，∴BF=．

在Rt△BDF中，∠DBF =60°，∠D=30°，∴BD=．

由勾股定理得：∴DF=，∴CD=．

（3）设运动的时间为t秒．

①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，，PO=QO得：，解得：（秒）；

②当点P、Q都在y轴上时，，PO=QO得：，解得（秒）；

③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，，则PO=QO，得：，解得：，不合题意，舍去．

④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，有，解得：（秒）．

综上所述：当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等．