Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：

①∠CAD=30°②BD=③S_{平行四边形ABCD}=AB•AC④OE=AD⑤S_△APO=，正确的个数是（　　）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Answer

D

【解析】

①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；

③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE•OC=，，代入可得结论．

①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE=1，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=AB=，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC=，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=120°，

∴∠ACB=30°，

∴∠ACD=90°，

Rt△OCD中，OD=，

∴BD=2OD=，故②正确；

③由②知：∠BAC=90°，

∴S▱ABCD=AB•AC，

故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线，

又AB=BC，BC=AD，

∴OE=AB=AD，故④正确；

⑤∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=，

∴S△AOE=S△EOC=OE•OC=××，

∵OE∥AB，

∴，

∴，

∴S△AOP= S△AOE==，故⑤正确；

本题正确的有：①②③④⑤，5个，

故选D．