Question

如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.

(1)求证：OP⊥CD；

(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；

（2）先 求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．

(1)证明：如图，连接OC，OD，则OC＝OD.

∵PD，PC是⊙O的切线，

∴∠ODP＝∠OCP＝90°.

在Rt△ODP和Rt△OCP中，

，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP，

∴∠DOP＝∠COP.

∵OD＝OC，

∴OP⊥CD.

(2)连接AD，BC如图所示，则OA＝OD＝OC＝OB＝2，

∴∠ADO＝∠DAO＝50°，

∠BCO＝∠CBO＝70°，

∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，

∴∠COD＝60°.

∵OD＝OC，

∴△COD是等边三角形．

由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°，

在Rt△ODP中，OP＝＝.