Question

综合与探究

如图，抛物线y=与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

Answer

（1）C（0，﹣4）；（2）Q点坐标为（，﹣4）或（1，﹣3）； （3）当m=2时，QF有最大值．

【解析】

（1）解方程x2−x-4=0得A（-3，0），B（4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标；

（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4，则可设Q（m，m-4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m-4+4）2=52，

当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；

（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=FQ，再证明△FGP～△AOC得到，则PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，设P（m，m2-m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），利用PQ=-m2+m得到FQ=（-m2+m），然后利用二次函数的性质解决问题．

（1）当y=0，x2−x-4=0，解得x1=-3，x2=4，

∴A（-3，0），B（4，0），

当x=0，y=x2−x-4=-4，

∴C（0，-4）；

（2）AC=，

易得直线BC的解析式为y=x-4，

设Q（m，m-4）（0＜m＜4），

当CQ=CA时，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=，m2=-（舍去），此时Q点坐标为（，-4）；

当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，-3）；

当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=（舍去），

综上所述，满足条件的Q点坐标为（，-4）或（1，-3）；

（3）【解析】
过点F作FG⊥PQ于点G，如图，

则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，-4）得△OBC为等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45                                                           

∴△FQG为等腰直角三角形，

∴FG=QG=FQ，

∵PE∥AC，PG∥CO，

∴∠FPG=∠ACO，

∵∠FGP=∠AOC=90°，

∴△FGP～△AOC．

∴，即，

∴PG=FG=•FQ=FQ，

∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，

∴FQ=PQ，

设P（m，m2-m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），

∴PQ=m-4-（m2-m-4）=-m2+m，

∴FQ=（-m2+m）=-（m-2）2+

∵-＜0，

∴QF有最大值．

∴当m=2时，QF有最大值．