Question

平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直线MN，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图①），易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，请直接写出你的猜想，不需证明．

Answer

图2成立

过点C作CD⊥BF，交FB的延长线于点D

证出△AEC≌△BDC，∴CE＝CD，AE＝BD

证出四边形CEFD是正方形，∴CE＝EF＝DF

∴AF＋BF＝AE＋EF＋DF－BD，AF＋BF＝2CE

图3不成立

应为AF－BF＝2CE

【解析】

过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE．

图2，AF+BF=2CE仍成立，

证明：过B作BH⊥CE于点H，

∵∠BCH+∠ACE=90°，

又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠BCH，

又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°

∴△ACE≌△CBH．

∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，

∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．

图3中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，

∵AC=BC，

可得∠AEC=∠CGB，

∠ACE=∠BCG，

∴△CBG≌△CAE，

∴AE=BG，

∵AF=AE+EF，

∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，

∴AF-BF=2CE．