Question

如图，在RT△ABC中，AB=AC, D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE=45°,在RT△ABC外作△ABF≌△ACD，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE=3, DC=4，则

其中正确的个数是

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

B

【解析】

在RT△ABC外作△ABF≌△ACD，可得∠FAD=90°，∠FBC=90°，由∠DAE=45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF ；②△ABE与△ACD不一定相似；DC=BF,DE=EF,△BEF中，BE+BF>EF，即BE+DC>DE；BE=3, DC=4，由勾股定理得EF=5=ED，BC=12，可得：.

【解析】
∵△ABF≌△ACD，∠DAE=45°

∴AD=AF，，∠FAD=90°，∠FAE=90°-∠DAE=45°，

∴∠DAE=∠FAE，

在△AED和△AEF中，

∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确.
∴ED=FE
△ABE与△ACD是否相似无法确定，故②错误；DC=BF,DE=EF,△BEF中，BE+BF>EF，即BE+DC>DE；，故③错误；
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴在Rt△FBE中BE2+BF2=FE2．
∵BE=3, DC=4=BF，

∴勾股定理得EF=5=ED，BC=BE+ED+DC=12，

可得等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高等于6，所以.

即④成立．
故正确的有①④，②③不一定正确．
故答案为：①④．