Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）若CB=,AD=2，求DE的长。

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．

（2））由（1）的论证结果能得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，

（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

∴AC=BC, EC=DC

∵∠ACB=∠ECD=90°

∴∠ACE+∠ACD=90°，∠DCB+∠ACD=90°

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE≌△BCD

(2)∵△ACE≌△BCD

∴∠EAC=∠CBD,AE=BD

∵△ACB是等腰直角三角形

∴∠CAB=∠CBD=45°

∴∠EAC+∠CAB=90°

∵CB=

∴AB=6

∵AD=2

∴BD=4

在RT△AED中，∵AE=BD=4,AD=2

∴DE=