Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．

（1）求证AE＝AF．

（2）若AB+AC＝16，S_△ABC＝24，∠EDF＝120°，求AD的长．

Answer

（1）详见解析；（2）AD＝6．

【解析】

（1）只要证明△ADE≌△ADF即可;（2）利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题.

（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，

∴∠AED＝∠AFD＝90°，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE＝∠DAF，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADF（AAS），

∴AE＝AF．

（2）∵△ADE≌△ADF，

∴DE＝DF，

∴S△ABC＝•AB•DE+•AC•DF＝•DE（AB+AC）＝24，

∵AB+AC＝16，

∴DE＝3，

∵∠ADE＝∠ADF＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴AD＝2DE＝6．