Question

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．

（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；

（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；

（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）∠AFB＝45°不变化，理由详见解析.

【解析】

（1）易得∠BAE＝∠CAF，由已知AB＝AC、AE＝AF，可得△ABE≌△ACF；

（2）由题意得∠ABE+∠BDA＝90°，由（1）得∠ABE＝∠ACF，又∠BDA＝∠CDF，可得答案；

(3) ∠AFB＝45°不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E，可证得△ABE≌△ACF，可得AE＝AF，△AEF是等腰直角三角形，∠AFB＝45°．

（1）∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°

∴∠BAE＝∠CAF

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF（SAS）

（2）∵∠BAC＝90°

∴∠ABE+∠BDA＝90°，

由（1）得△ABE≌△ACF

∴∠ABE＝∠ACF

∴∠BDA+∠ACF＝90°

又∵∠BDA＝∠CDF

∴∠CDF+∠ACF＝90°

∴∠BFC＝90°

∴CF⊥BD

（3）∠AFB＝45°不变化，理由如下：

过点A作AF的垂线交BM于点E

∵CF⊥BD

∴∠BAC＝90°

∴∠ABD+∠BDA＝90°

同理∠ACF+∠CDF＝90°

∵∠CDF＝∠ADB

∴∠ABD＝∠ACF

同（1）理得∠BAE＝∠CAF

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴AE＝AF

∴△AEF是等腰直角三角形

∴∠AFB＝45°．