Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．

（1）求证：CE平分∠BCD；

（2）求证：AD+BC=CD；

（3）若AB=12，CD=13，求S_△CDE．

Answer

(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)39.

【解析】

（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．

（2）只要证明△DEA≌△DEM得AD=DM，同理可证CB=CM．

（3）根据S△EDC=•DC•EM即可计算．

（1）证明：作EM⊥CD垂足为M，

∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，

∴AE=EM，

∵AE=EB，

∴EM=EB，

∵EB⊥BC，EM⊥CD，

∴EC平分∠BCD．

（2）证明：由（1）可知：AE=EM=EB，

在RT△DEA和RT△DEM中，

，

∴△DEA≌△DEM，

∴DA=DM，同理可证：CB=CM

∴CD=DM+MC=AD+BC．

（3）【解析】
由（1）可知：EM=AE=EB=AB=6，

∵EM⊥CD，CD=13，

∴S△EDC=•DC•EM=×13×6=39．