Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为_____．

Answer

或

【解析】

先根据AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，得出AD＜DF，再分两种情况进行讨论：①当FA＝FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，根据△DGF∽△PHF，得出，求得PF的长，进而得出DP的长；②当AF＝AD＝4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，根据勾股定理求得FG，FH的长，再根据△DFG∽△PFH，得出，求出PF的长，即可得出PD的长．

∵AD＝BC＝4，DF＝CD＝AB＝6，∴AD＜DF，故分两种情况：

①如图1所示，当FA＝FD时，过F作GH⊥AD于G，交BC于H，则HG⊥BC，DGAD＝2，∴Rt△DFG中，GF，∴FH＝6﹣4．

∵DG∥PH，

∴△DGF∽△PHF，

∴，即，

解得：PF6，

∴DP＝DF+PF＝6；

②如图2所示，当AF＝AD＝4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则

Rt△AFG中，AG2+FG2＝AF2，即AG2+FG2＝16；

Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即（AG+4）2+FG2＝36；

联立两式，解得：FG，

∴FH＝6．

∵∠G＝∠FHP＝90°，∠DFG＝∠PFH，

∴△DFG∽△PFH，∴，即，

解得：PF6，∴DP＝DF+PF＝6．

故答案为：或．