Question

如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．

(1)请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系        ；

(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系    ；

(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

Answer

(1)PM=PN，PM⊥PN；(2)PM=PN，PM⊥PN；(3)PM=kPN，证明见解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE＝BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM＝PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；

（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；

（3）PM＝kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD＝kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PMBD，PNAE，进而可证明PM＝kPN．

（1）PM＝PN，PM⊥PN．理由如下：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

在△ACE和△BCD中，

∵，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD．

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PMBD，PNAE，

∴PM＝PN．

∵PM∥BD，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC．

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPD＝90°，

∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN；

（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．

又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BHO＝∠ACO＝90°．

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PMBD，PM∥BD；PNAE，PN∥AE，

∴PM＝PN，

∴∠MGE+∠BHA＝180°，

∴∠MGE＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴PM⊥PN．

（3）PM＝kPN．

∵△ACB和△ECD是直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECD＝90°，

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD．

∵BC＝kAC，CD＝kCE，

∴k，

∴△BCD∽△ACE，

∴BD＝kAE．

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PMBD，PNAE，

∴PM＝kPN．