Question

如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．

(1)直接写出点的坐标为       ；点的坐标为           ；

(2)过点作轴于点，过点作直线l∥y轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．

当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为；

是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)；(2)①当时，以、、为顶点的三角形的面积为；②或或或时，是等腰三角形.

【解析】

（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；

（2）①利用S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；

②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可．

（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B，

∴，解得：，

∴A点坐标为：（3，4）；

∵y＝﹣x+7＝0，解得：x＝7，

∴B点坐标为：（7，0）．

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO＝t，PC＝4﹣t，BR＝t，OR＝7﹣t．

∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，

∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，

∴（AC+BO）×COAC×CPPO×ROAM×BR＝8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR＝16，

∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t＝16，

∴t2﹣8t+12＝0，解得：t1＝2，t2＝6（舍去）；

当t＝4时，A，P，R三点可以构成三角形，此时面积是6，不合题意；

当4＜t＜7时，S△APRAP×OC＝2（7﹣t）＝8，解得：t＝3，不符合4＜t＜7；

综上所述：当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；

②存在．延长CA到直线l交于一点D，当l与AB相交于Q．

∵一次函数y＝﹣x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，

∴NO＝OB，

∴∠OBN＝∠ONB＝45°．

∵直线l∥y轴，

∴RQ＝RB，CD⊥L，

当0≤t＜4时，如图1，RB＝OP＝QR＝t，DQ＝AD＝（4﹣t），AC＝3，PC＝4﹣t．

∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP＝AQ，

∴AC2+PC2＝AP2＝AQ2＝（AD）2，

∴9+（4﹣t）2＝2（4﹣t）2，解得：t1＝1，t2＝7（舍去），

当AP＝PQ时 32+（4﹣t）2＝（7﹣t）2，解得：t＝4 （舍去）．

当PQ＝AQ时，2（4﹣t）2＝（7﹣t）2，解得：t1＝1+3（舍去），t2＝1﹣3（舍去），当t＝4时，无法构成三角形；

当4＜t＜7时，如图（备用图），过A作AD⊥OB于D，则AD＝BD＝4，设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE＝RD＝t﹣4，AP＝7﹣t，由cos∠OAC，得：AQ（t﹣4），若AQ＝AP，则（t﹣4）＝7﹣t，解得：t；

当AQ＝PQ时，AE＝PE，即AEAP，得：t﹣4（7﹣t），解得：t＝5；

当AP＝PQ时，过P作PF⊥AQ于F，AFAQ（t﹣4）．

在Rt△APF中，由cos∠PAF，得：AFAP，即（t﹣4）（7﹣t），解得：t．

综上所述：当t＝1、5、、秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．