Question

如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（  ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可.

【解析】
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，

∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC

∵DB＝DE,

∴∠DBE＝∠DEB

即∠DBM+45°＝∠CDE+45°.

∴∠DBM＝∠CDE.

∵EF⊥AC,

∴∠DFE＝∠BMD=90°

在△BMD和△DFE中

∴△BMD≌△DFE.

故①正确.

由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C

∴△NBE∽△DCB，

故②错，对应字母没有写在对应的位置上.

∵△BMD≌△DFE，

∴BM=DF,

∵BM=AM=MC，

∴AC=2BM,

∴AC＝2DF.

故③正确

易证△EFC∽△ABC,所以=,

∴EFAB＝CFBC

故④正确

故选C.