Question

如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．

(1)求证：△BEC≌△ADC．

(2)求证：△PQC是等边三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题利用易证得
证明则可得又由即可证得：为等边三角形．

试题解析：如图，

(1)∵△ABC和△CDE为等边三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.

∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，

即∠ACD＝∠BCE.

又∵C在线段AE上，

∴∠3＝60°.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE.

(2) ∵△ACD≌△BCE.

∴∠1＝∠2.

在△APC和△BQC中，

∴△APC≌△BQC.∴CP＝CQ.

∵∠3＝60°，CP＝CQ..

∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．