Question

如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若， CD=4，求⊙O的半径．

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连结OC，由，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．

（1）证明：连结OC，如图，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF，

∵CD⊥AF，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
连结BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵=，

∴∠BOC=×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=4，

∴AC=2CD=8，

在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2 ，

即82+（AB）2=AB2 ，

∴AB=，

∴⊙O的半径为．