Question

如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BD和CE相交于O点.

（1）试说明△OBC是等腰三角形；

（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）直线AO垂直平分BC

【解析】

（1）根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；

（2）首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC．

（1）∵ 在△ABC中，AB=AC，

∴ ∠ABC=∠BCA，

∵ BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，

∴ ∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE，

∴ ∠OBC=∠BCO，

∴ OB=OC，

∴ △OBC为等腰三角形；

（2）在△AOB与△AOC中，

∵，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠BAO=∠CAO，∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）