Question

数学学习中常常需要用到从特殊到一般的数学思想来解决问题，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，从而作出一般的结论.例如：数学课上，王老师出示了一道题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.”

小慧与同桌小明讨论后,进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论：当点E是AB的中点时（如图1），线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE___________DB(填“＞”,“=”或“＜”).

（2）特例启发，解答题目：当点E是AB上的任意一点时（如图2），线段AE与DB的大小关系是AE___________DB(填“＞”,“=”或“＜”)，请你判断后写出解答过程.

Answer

1）AE=DB；（2）AE=DB

【解析】

（1）根据等边三角形性质可得∠ECB=30°=∠D=∠DEB，从而DB=BE=AE；

（2）作EF∥BC，交AC于点F．则△AEF为等边三角形．根据“SAS”证明△BDE≌△FEC，得BD=EF=AE．

（1）E为AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE=DB；

理由如下：

∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，

∴AE=BE；∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠D=30°，

又∵∠ABC=60°，

∴∠DEB=30°，

∴DB=BE=AE；

（2）AE=DB，

如图，过点E作EF∥BC交AC于点F，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF，

∴BE=CF，

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠D，

又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，

∴∠ECF=∠DEB，

在△BDE与△FEC中，

，

∴△BDE≌△FEC（SAS），

∴BD=EF

∴BD=AE