Question

如图，A是半径为6cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动，当点P回到A时立即停止运动．设点P运动时间为t（s）;

（1）当t=6s时，∠POA的度数是________；   

（2）当t为多少时，∠POA=120°；

（3）如果点B是OA延长线上的一点，且AB=AO，问t为多少时，△POB为直角三角形？请说明理由．   

Answer

（1）180；当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；（3）当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．

【解析】

（1）先根据路程=速度×时间得出当t=6s时，点P运动的路程即弧AP的长度，再根据弧长公式即可求出∠POA的度数；

（2）当∠POA=120°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；

（3）△POB为直角三角形时，由于动点P沿圆周运动，所以以B为顶点的角不可能为直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°两种情况进行分析．

【解析】
（1）设∠POA=n°，则

=6π=，

∴n=180．

即∠POA的度数是180．

故答案为180；

（2）当∠POA=120°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P1处）或（图中P2处），

设点P运动的时间为ts．

当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，

解得t=4；

当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，

解得t=8；

∴当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；

（3）分两种情况：

①当∠POB=90°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P1处）或（图中P2处），

设点P运动的时间为ts．

当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，

解得t=3；

当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，

解得t=9．

∴当点P运动的时间为3s或9s时，△POB为直角三角形；

②当∠OPB=90°时，如图，（图中P3处）或（图中P4处），

设点P运动的时间为ts．

当点P运动P3处时，连接AP3．

∵∠OP3B=90°，OA=AB，

∴AP3=OA=OP3，

∴△OAP3是等边三角形，

∴∠AOP3=60°，

∴π•t=•2π•6，

解得t=2；

当点P运动P4处时，连接AP4．

∵∠OP4B=90°，OA=AB，

∴AP4=OA=OP4，

∴△OAP4是等边三角形，

∴∠AOP4=60°，

∴π•t=（1﹣）•2π•6，

解得t=10．

∴当点P运动的时间为2s或10s时，△POB为直角三角形．

综上可知，当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．