Question

如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．

（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD=120°，则∠OBA+∠ODA=            °．

（2）若四边形OBCD为平行四边形．

①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；

②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．

Answer

（1）60°；（2）①60°；②∠OBA=∠ODA+60°．

【解析】

试题（1）连接BD，首先圆周角定理，求出∠BAD的度数是多少；然后根据三角形的内角和定理，求出∠0BD、∠ODB的度数和是多少；最后在△ABD中，用180°减去∠BAD、∠0BD、∠ODB的度数和，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．

（2）①首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，求出∠B0D的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据平行四边形的性质，求出∠OBC、∠ODC的度数，再根据∠ABC+∠ADC=180°，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．

②首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，求出∠B0D的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据OA=OD，OA=OB，判断出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，进而判断出∠OBA=∠ODA+60°即可．

试题解析：【解析】
（1）如图1，连接BD，

∵∠BOD=120°，

∴∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠0BD+∠ODB=180°﹣∠BOD=180°﹣120°=60°，

∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD=180°﹣60°﹣60°=120°﹣60°=60°．

故答案为：60；

（2）①如图2，

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，

∴∠B0D+∠B0D=180°，

∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OBC=∠ODC=180°﹣120°=60°，

又∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠OBC+∠ODC）=180°﹣（60°+60°）=180°﹣120°=60°；

②如图3，

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=∠B0D，

∴∠B0D+∠B0D=180°，

∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，

∵OA=OD，OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA=∠ODA+60°．