Question

某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如表所示：

销售单价x（元/kg）	…	70	75	80	85	90	…
月销售量y（kg）	…	100	90	80	70	60	…

设该绿茶的月销售利润为w（元）（销售利润＝单价×销售量﹣成本）

（1）请根据上表，写出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）求w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，w的值最大？

（3）若在第一个月里，按使w获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于80元，要想在全部收回装修投资的基础上使第二个月的利润至少达到1700元，那么第二个月时里应该确定销售单价在什么范围内？

Answer

（1）y＝﹣2x+240；（2）w＝﹣2x2+340x﹣12000，当x＝85时，w最大＝2450；（3）当销售单价为75≤x≤80元时，在全部收回投资的基础上使第二个月的利润不低于1700元．

【解析】

（1）设y=kx+b，待定系数法求解即可得；
（2）根据：“总利润=每千克利润×销售量”列出函数关系式，配方可得其最值情况；
（3）由（2）知，第二个月利润需达到1700+550即W=2250才能满足题目条件，解方程可得x的值，根据二次函数性质可得x的取值范围．

（1）将（70，100），（75，90）代入上式，

得：

解得：，

则y＝﹣2x+240，

（2）w＝（x﹣50）y

＝（x﹣50）（﹣2x+240）

＝﹣2x2+340x﹣12000

＝﹣2（x﹣85）2+2450，

当x＝85时，w最大＝2450；

（3）由（2）知，第1个月还有3000﹣2450＝550元的投资成本没有收回．

则要想在全部收投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，

即w＝2250才可以，

可得方程：﹣2（x﹣85）2+2450＝2250

解得：x1＝75，x2＝95

根据题意x2＝95不合题意，应舍去，

当x＝80时，y＝2400，

∵﹣2＜0，

∴当x＜85时，w随x的增大而增大，

当w≥2250，且销售单价不高于80时，75≤x≤80．

答：当销售单价为75≤x≤80元时，在全部收回投资的基础上使第二个月的利润不低于1700元．