Question

已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C、设直线CM与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切？若存在，求出P的坐标；若不存在．请说明理由．

（3）设直线y＝kx+2与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写出k的取值范围．

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）满足题意的点P存在，其坐标为（1，﹣4+2）；（3） ＜k＜．

【解析】

(1)根据待定系数法即可解答.

(2) 假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，得到PA2＝u2+22,再利用已知条件即可解答.

(3) 设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为w,得出解析式进而求线段长度，即可解答.

（1）【解析】
由抛物线的顶点是M（1，4），

设解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a＜0），

又∵抛物线经过点N（2，3），

∴3＝a（2﹣1）2+4，解得a＝﹣1．

故所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）【解析】
如图：

假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，

则PA是圆的半径且PA2＝u2+22，

过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．

由题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4﹣u|，PQ＝PM．

由PQ2＝PA2得方程：

（4﹣u）2＝u2+22，

解得u＝﹣4+2，u＝﹣4﹣2（不符合题意，舍）．

所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，﹣4+2）．

（3）如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为w．

由，消去y得到：x2+（k﹣2）x﹣1＝0，

∴x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣1，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+4＝﹣k2+2k+4，y1y2＝k2（x1x2）+2k（x1+x2）+4＝﹣3k2+4k+4，

∴W（，），

PQ＝

＝

∵原点O在以QR为直径的圆外，

∴2OW＞PQ，

∴2•＞

整理得：3k2﹣4k﹣3＜0，

解得＜k＜．