Question

如图，在△ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于 E，交 BC 于 G，且 AE∥BC．

（1）求证：△ABC 是等腰三角形；

（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）32．

【解析】

试题（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；

（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．

试题解析：证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

（2）∵F是AC的中点，∴AF=CF．

在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，∴△AEF≌△CFG，∴AE=GC=8．

∵GC=2BG，∴BG=4，∴BC=12，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．