Question

阅读下面材料：

丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.

她还发现像，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用表示.例如：.于是丽丽把称为基本神奇对称式 .

请根据以上材料解决下列问题：

（1）代数式① ， ② ， ③， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是__________（填序号）；

（2）已知. 

① q=__________（用含m，n的代数式表示）；

② 若，则神奇对称式=__________；

③ 若 ，求神奇对称式的最小值.

Answer

（1）①，④;（2）① q=mn.②;③-2.

【解析】

（1）根据题意新定义的神奇对称式任意交换两个字母的位置，式子的值不变来判断

（2）①由所学知识十字相乘法表示对应系数相等可求出

②把 通分用mn与m+n的形式表示，然后转换成用p、q表示的代数式代入即可求出值

③把神奇对称式转换成用p、q表示的代数式，再根据求根公式求出范围

【解析】
（1）①，④符合神奇对称式的定义，②③交换字母的位置，式子的值会变故不符合神奇对称式的定义。所以答案应为①，④

（2）①∵，

∴.

故答案应为：q = mn .

② == = - 故答案应为-

③∵，

∴.

=

=

=.

∵，

∴.

即q=±p.

（i）当时，

∴原式==.

（ii）当时，

∴原式==.

综上，的最小值为-2.