Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

试题（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；

（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．

（1）证明：过点O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一条角平分线，

∴OE=OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）【解析】
∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB===13，

设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，

∴，

解得：，

∴CE=2，

∴OE=2．