Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系是：　   　；

②BC、CD、CF之间的数量关系为：　   　（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

Answer

（1）①BC⊥CF；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．证明见解析.

【解析】

试题（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；

②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．

试题解析：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中 ，∴△DAB≌△FAC，

∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

故答案为：BC⊥CF；

②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；

故答案为：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．