Question

（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．

填空：当点A位于_____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为___________（用含a，b的式子表示）

（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值为____________.

Answer

（1）CB的延长线上，a+b；（2）①CD＝BE，理由见解析；②8.

【解析】

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果.

（1）点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b，

故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD＝BE，

理由：：△ARD与△ACE是等边三角形，

AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°

∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB

在△CAD与△EAB中，

AD= AB

∠CAD＝∠EAB

AC=AE

△CAD△EAB

CD=BE

②：线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，

由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上

∴最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝8.