Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在x轴上有一点D（-4，0），将二次函数的图象沿射线DA方向平移，使图象再次经过点B．

①求平移后图象顶点E的坐标；

②直接写出此二次函数的图象在A，B两点之间（含A，B两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积．

Answer

（1）y＝﹣x2+4；（2）①E（5，9）；②30.

【解析】

（1）待定系数法即可解题,

（2）①求出直线DA的解析式,根据顶点E在直线DA上，设出E的坐标,带入即可求解；②AB扫过的面积是平行四边形ABGE,根据S四边形ABGE＝S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK,求出点B（2，0）,G（7，5），A（0，4），E（5，9），根据坐标几何含义即可解题.

【解析】
（1）∵A（0，4），B（2，0），C（﹣2，0）

∴二次函数的图象的顶点为A（0，4），

∴设二次函数表达式为y＝ax2+4，

将B（2，0）代入，得4a+4＝0，

解得，a＝﹣1，

∴二次函数表达式y＝﹣x2+4；

（2）①设直线DA：y＝kx+b（k≠0），

将A（0，4），D（﹣4，0）代入，得 ，

解得， ，

∴直线DA：y＝x+4，

由题意可知，平移后的抛物线的顶点E在直线DA上，

∴设顶点E（m，m+4），

∴平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣m）2+m+4，

又∵平移后的抛物线过点B（2，0），

∴将其代入得，﹣（2﹣m）2+m+4＝0，

解得，m1＝5，m2＝0（不合题意，舍去），

∴顶点E（5，9），

②如图，连接AB，过点B作BL∥AD交平移后的抛物线于点G，连结EG，

∴四边形ABGE的面积就是图象A，B两点间的部分扫过的面积，

过点G作GK⊥x轴于点K，过点E作EI⊥y轴于点I，直线EI，GK交于点H．

由点A（0，4）平移至点E（5，9），可知点B先向右平移5个单位，再向上平移5个单位至点G．

∵B（2，0），∴点G（7，5），

∴GK＝5，OB＝2，OK＝7，

∴BK＝OK﹣OB＝7﹣2＝5，

∵A（0，4），E（5，9），

∴AI＝9﹣4＝5，EI＝5，

∴EH＝7﹣5＝2，HG＝9﹣5＝4，

∴S四边形ABGE＝S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK

＝7×9﹣×2×4﹣×5×5﹣×2×4﹣×5×5

＝63﹣8﹣25

＝30

答：图象A，B两点间的部分扫过的面积为30．