Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x=1，与y轴的交点为c（0，4），y的最大值为5，顶点为M，过点D（0，1）且平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B．

（Ⅰ）求该二次函数的解析式和点A、B的坐标；

（Ⅱ）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，求出所有点P的坐标．

Answer

（Ⅰ）y＝﹣x2+2x+4，B（﹣1，1），A（3，1）；（Ⅱ）P点坐标为（3，1）或（﹣3，7）或（）或（）.

【解析】

（Ⅰ）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x﹣1）2+5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；

（Ⅱ）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM，AC＝3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，然后分两种情况讨论：①当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，﹣x+4），利用两点间的距离公式得到x2+（﹣x+4﹣4）2＝（3）2，求出x从而得到此时P点坐标；

②当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC，利用同样方法求出对应的P点坐标．

（Ⅰ）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，把C（0，4）代入y＝a（x﹣1）2+5得：a+5＝4，解得：a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+5，即y＝﹣x2+2x+4；

当y＝1时，﹣x2+2x+4＝1，解得：x1＝﹣1，x2＝3，则B（﹣1，1），A（3，1）；

（Ⅱ）CD＝3，BD＝1，AM ，CM，易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4．

∵CM2+AC2＝AM2，∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，∴∠BDC＝∠MCP，分两种情况讨论：

①当时，△MCP∽△BDC，即，解得：PC＝3，设此时P（x，﹣x+4），∴x2+（﹣x+4﹣4）2＝（3）2，解得：x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（﹣3，7）；

②当时，△MCP∽△CDB，即，解得：PC，设此时P（x，﹣x+4），∴x2+（﹣x+4﹣4）2＝（）2，解得：x＝±，则此时P点坐标为（）或（）；

综上所述：满足条件的P点坐标为（3，1）或（﹣3，7）或（）或（）．