Question

为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500 ．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?

（2）设李明获得的利润为W（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?

（3）物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

Answer

（1）政府这个月为他承担的总差价为元；

（2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润元；

（3）销售单价定为元时，政府每个月为他承担的总差价最少为元．

【解析】

试题（1）把x=20代入y=-10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；

（2）由利润=销售价-成本价，得w=（x-10）（-10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；

（3）令-10x2+600x-5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

试题解析：(1) 在y=－10x+500中，x=20 y=300

300（12－10）=600 承担总差价为600元

(2) W=（－10x+500）(x－10)=－10(x－30)+4000

x=30时，W有最大值4000

(3) W=－10(x－30)+4000 令W≥3000

画出草图，

由图像可知

有20≤x≤40 ∵x≤25

∴20≤x≤25

在y=－10x+500中，－10＜0 ∴y随x的增大而减小

∴x=25时，y最小为250

∴政府为他承担总差价最少为250（12－10）=500元