Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的两个根，是否存在实数m，使x₁²+x₂²-x₁x₂=21成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

存在．m=-1．

【解析】试题先利用判别式得到m≤0，再由根与系数的关系得到x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4，利用完全平方公式变形x12+x22-x1x2=2得到（x1+x2）2-3x1x2=21，所以4（m-2）2-3（m2+4）=21，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值；

试题解析：

【解析】
存在．
∵△=[-2（m-2）]2-4（m2+4）≥0，
∴m≤0，
根据根与系数的关系得x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4，
∵x12+x22-x1x2=21，
∴（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=21，即（x1+x2）2-3x1x2=21，
∴[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21，
整理得m2-16m-17=0，解得m1=17，m2=-1，
而m≤0，
∴m=-1．