Question

如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为　   　度；

（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值。

Answer

（1）90 （2）答案见解析 （3）4秒或16秒

【解析】

（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；

（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC＝1：2”求得∠AOC＝60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC＝30°；

（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240°

【解析】
（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON＝90°．

故答案是：90；

（2）如图3，∠AOM﹣∠NOC＝30°．

设∠AOC＝α，由∠AOC：∠BOC＝1：2可得

∠BOC＝2α．

∵∠AOC+∠BOC＝180°，

∴α+2α＝180°．

解得 α＝60°．

即∠AOC＝60°．

∴∠AON+∠NOC＝60°．①

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM+∠AON＝90°．②

由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC＝30°；

（3）（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时，

由OD平分∠AOC，可得∠BON＝30°．

因此三角板绕点O逆时针旋转60°．

此时三角板的运动时间为：

t＝60°÷15°＝4（秒）．

（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时，

由ON平分∠AOC，可得∠CON＝30°．

因此三角板绕点O逆时针旋转240°．

此时三角板的运动时间为：

t＝240°÷15°＝16（秒）．