Question

如图，已知∠AOB=α°，∠COD在∠AOB内部且∠COD=β°.

(1)若α，β满足|α-2β|+(β-60)²=0，则①α=    ；

②试通过计算说明∠AOD与∠COB有何特殊关系；

(2)在(1)的条件下，如果作OE平分∠BOC，请求出∠AOC与∠DOE的数量关系；

(3)若α°，β°互补，作∠AOC，∠DOB的平分线OM，ON，试判断OM与ON的位置关系，并说明理由.

Answer

(1)①α=120；②∠AOD与∠COB互补，理由见解析；(2)∠DOE=∠AOC，理由见解析；(3)OM⊥ON，理由见解析.

【解析】

（1）①根据非负数的性质即可得出结论；

②先表示出∠AOD=∠AOB-∠DOB=120°-∠DOB，∠COB=∠COB+∠DOB=60°+∠DOB，即可得到结论；

（2）根据角的和差以及角平分线的性质计算即可；

（3）根据角的和差、角平分线的性质以及互补的概念计算即可．

(1)①由题意得：α-2β=0，β=60°，解得：α=120°；

②∵∠AOB=α°=120°，∠COD=β°=60°，

∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=120°-∠DOB，∠COB=∠COB+∠DOB=60°+∠DOB，∴∠AOD+∠COB=180°，即∠AOD与∠COB互补；

(2)设∠AOC=θ，则∠BOC=120°-θ．

∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=(120°-θ)=60°-θ，

∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°-60°+θ=θ=∠AOC；

(3)OM⊥ON．理由如下：

∵OM，ON分别平分∠AOC，∠DOB，

∴∠COM=∠AOC，

∴∠DON=∠BOD，

∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON

=∠AOC+∠BOD+∠COD

=(∠AOC+∠BOD)+∠COD

=(∠AOB-∠COD)+∠COD

=(∠AOB+∠COD)

=(α°+β°)

∵α°，β°互补，

∴α°+β°=180°，

∴∠MON=90°，

∴OM⊥ON．