Question

如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．

 

（1）求证：AB是⊙O的切线；   

（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．

Answer

(1)见解析；(2)．

【解析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．

（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，

∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°．

∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°．

∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分．

∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，

∴DF=2，∴AD==2，∴AE=．

在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=．

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R．

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=，即⊙O的半径为．