Question

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是BC边上一点，将点D绕点A逆时针旋转60°得到点E，连接CE.

(1)当点E在BC边上时,画出图形并求出∠BAD的度数；

(2)当△CDE为等腰三角形时，求∠BAD的度数；

(3)在点D的运动过程中，求CE的最小值.

(参考数值:sin75°=， cos75°=，tan75°=)

Answer

（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）CE=．

【解析】

（1）如图1中，当点E在BC上时．只要证明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°；

（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形．②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形；

（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先确定点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），可得EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短）.

【解析】
（1）如图1中，当点E在BC上时．

∵AD=AE，∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴∠ADB=∠AEC=120°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

在△ABD和△ACE中，

∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°．

（2）①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形，∠BAD=∠BAC=45°．

②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形．

∵AD=AE，

∴AC垂直平分线段DE，

∴∠ACD=∠ACE=45°，

∴∠DCE=90°，

∴∠EDC=∠CED=45°，

∵∠B=45°，

∴∠EDC=∠B，

∴DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE=60°．

（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．

∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO，

∴△AOE∽△DOE′，

∴AO：OD=EO：OE'，

∴AO：EO=OD：OE'，

∵∠AOD=∠EOE′，

∴△AOD∽△EOE′，

∴∠EE′O=∠ADO=60°，

∴点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），

∴EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短），

设E′N=CN=a，则AN=4-a，

在Rt△ANE′中，tan75°=AN：NE'，

∴2+=，

∴a=2-，

∴CE′=CN=2-．

在Rt△CE′M中，CM=CE′•cos30°=，

∴CE的最小值为．