Question

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

（2） 如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

Answer

（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形

【解析】【解析】
（1） 证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900。

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900。

∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD。

又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。

∴DE=AE+AD= BD+CE。

（2）成立。证明如下：

∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—。∴∠DBA=∠CAE。

∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。

∴DE=AE+AD=BD+CE。

（3）△DEF为等边三角形。理由如下：

由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600。

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF。∴∠DBF=∠FAE。

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）。∴DF=EF，∠BFD=∠AFE。

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600。

∴△DEF为等边三角形。

（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE。

（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD。

（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形。