Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝____．

Answer

或7

【解析】

分两种情况:

①如图1, 作辅助线, 构建矩形, 先由勾股定理求斜边AB=10, 由中点的定义求出AD和BD的长, 证明四边形HFGB是矩形, 根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长,并由翻折的性质得: ∠DA' E=∠A,A' D=AD=5, 由矩形性质和勾股定理可以得出结论: A' B=;

②如图2, 作辅助线, 构建矩形A' MNF,同理可以求出A' B的长.

【解析】
分两种情况:

如图1,

过D作DG⊥BC与G, 交A' E与F, 过B作BH⊥A' E与H,

D为AB的中点,BD=AB=AD,

∠C=,AC=8,BC=6,AB=10,

BD=AD=5,

sin ∠ABC=,

DG=4,

由翻折得: ∠DA' E=∠A, A' D=AD=5,

sin∠DA' E=sin ∠A=.

DF=3,

FG=4-3=1,

A'E⊥AC,BC⊥AC,

A'E//BC,∠HFG+∠DGB=,

∠DGB=,∠HFG=,∠EHB=,

四边形HFGB是矩形,

BH=FG=1,

同理得: A' E=AE=8 -1=7,

A'H=A'E-EH=7-6=1,

在Rt△AHB中 , 由勾股定理得: A' B=.

如图2,

过D作MN//AC, 交BC与于N,过A' 作A' F//AC, 交BC的延长线于F,延长A' E交直线DN于M, A'E⊥AC,A' M⊥MN, A' E⊥A'F,

∠M=∠MA'F=,∠ACB=,

∠F=∠ACB=,

四边形MA' FN県矩形,

MN=A'F,FN=A'M,

由翻折得: A' D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,

FN=A'M=4,

Rt△BDN中,BD=5,DN=4, BN=3,

A' F=MN=DM+DN=3+4=7,

BF=BN+FN=3+4=7,

Rt△ABF中, 由勾股定理得: A' B=;

综上所述,A'B的长为或.

故答案为:或.