Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BD=，BF=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）2.

【解析】

（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=R，利用勾股定理列出关于R的方程，求出方程的解得到R的值，即为圆的半径.

【解析】
（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，

∵OD为半径，

∴线BC与⊙O的位置关系是相切；

（2）设⊙O的半径为R，

则OD=OF=R，

在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2=BD2+OD2，

即（R+2）2=（）2+R2，

解得：R=2，

即⊙O的半径是2．