Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

Answer

（1）见解析（2）6

【解析】【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC。

∴∠C+∠B=1800，∠ADF=∠DEC。

∵∠AFD+∠AFE=1800，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C。

在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，

∴△ADF∽△DEC。

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴，∴。

在Rt△ADE中，由勾股定理得：。

（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC。

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度。