Question

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；

（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．

Answer

（1）证明见解析 （2）证明见解析

【解析】

(1)延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠BCE=∠ACP，BC=AC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；

(2)过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．

证明：(1)延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，

∵A、B、P、C四点共圆，

∴∠BAC+∠BPC＝180°，

∵∠BPC+∠EPC＝180°，

∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，

∴△PCE是等边三角形，

∴CE＝PC，∠E＝60°；

又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，

∴∠BCE＝∠ACP，

∵△ABC、△ECP为等边三角形，

∴CE＝PC，AC＝BC，

在△BEC和△APC中，

∴△BEC≌△APC（SAS），

∴PA＝BE＝PB+PC；

(2)过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2，

∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°

∴∠1＝∠3，

∴∠APB＝45°，

∴BP＝BE，

∴PE＝PB，

在△ABE和△CBP中，

∴△ABE≌△CBP（SAS），

∴PC＝AE，

∴PA＝AE+PE＝PC+PB.